Математика в музыке

[barzel]

Тема эта интересная. И интересовала она давно, например роман Гессе "Игра в бисер". И всяческие компьтерные программы для сочинение музыки. Хотел бы я рассмотреть два музыкальных понятия: диатоника и хроматика. Диатоника--эта такая система звукоряда, когда звуки расположены в частотном ряде по кратным частотам. Музыканты диатонику называют равномерно темперированный или чистый строй. То есть соотношение частот соседних нот является константой. На пианино--это белые клавиши. Хроматика--это одновременное звучание нескольких звуков, отстоящих друг от друга на полтона (белая и черная клавиши на рояле).


В диатоническом строю за единицу частоты v=1 принята частота в 256 гц. (програмисты оценят :)) Гармоники этой исходной ноты равны v=2,3,4 и т.д., а субгармоники равны 1/2, 1/3, 1/4 и т.д. Нота С(или русская до) средней октавы рояля соответствует С256 (если рояль так настроен) и обозначается С4. (Индекс означает октаву. Он возрастает на единицу при переходе к следущей, более высокой, октаве). В физике есть понятие дисперсии "непрерывной струны". Это значит что моды (частоты колебания) струны представляют собой гармоническую последовательность v1, 2*v1, 3*v1 и т.д. То есть частоты гармоник кратны основному тону струны. Первые 16 гармоник струны С4(С4 и ее октавы подчеркнуты):

обозн.	F3	C3	C4	C5	G5	C6	E6	G6	Bb6	C7	D7	E7	F#7	G7	G#7	Bb7	B7	C8
ν	1/3	1/2	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16

При повышении любого тона на октаву частота колебаний удваивается (ср. G6 & G7, C4 & C5 и т.д.). Теперь умножая частоту С4 на соответсвующие множители лежащие между 1 и 2, мы образуем следующую гамму внутри отдельной октавы, например, между С4 и С5:

обозначение	C	D	E	F	G	A	B	C
	до	ре	ми	фа	соль	ля	си	до
ν	1	9/8	5/4	4/3	3/2	5/3	15/8	2

Мы получили научную, или чистую диатоническую, С-мажорную гамму. Стоит обратить внимание на ноту А426,67 (ля). Она равна 5/4F(фа). Нота С(до) в этой гамме называется ключом или тоникой.

Наименьший музыкальный интервал в диатонической гамме называется диатоническим полутоном или малой секундой. Отношение частот для этого интервала равно F/E=C/B=16/15=1,067. Следующие, бóльшие, частотные интервалы называются тонами или большими секундами. Имеется два типа больших секунд: D/C=G/F=B/A=1,125 & E/D=A/G=10/9=1,111.

Имеется также два типа музыкальных интервалов, так называемых малых терция: G/E=C/A=6/5=1,2,

и еще большая терция: E/C=A/F=B/G=5/4=1,25.

Теперь возникают некоторые "музыкальные" трудности. Предположим, что, сочиняя музыку с помощью рояля, имеющего диатонический строй, мы решили изменить ключ, т.е. перейти к диатонической гамме с другой тоникой, например из С-мажорной гаммы в D-мажорную, и иметь ту же шкалу, т.е. те же отношения частот, что и раньше. Таким образом, мы хотим, чтобы отношение частот E/D в новой гамме было равно отношению D/C в старой, т.е. большой секунде 9/8=1,125. К сожалению, мы не можем использовать ту струну Е, которая уже имеется, так как при этом отношение E/D=10/9=1,111, а не 1,125. Таким образом, нам необходима новая струна Е', для которой отношение Е'/D=1,125, но при этом Е'/С=(1,125)(D/C)=1,265, в то время как Е/С=1,25.

Для следующей ноты после Е' также понадобиться новая струна, обозначаемая F#. Для нее должно выполняться равенство F#/D=Е/С, т.е. F#/С=(5/4)(9/8)=1,407. Таким образом у рояля появляется новый полутон F#/F=1,0555. По мере заполнения шкалы придется добавлять новые ноты, и ситуация будет становиться хуже и хуже, так как понадобятся все новые и новые струны. Этих затруднений легко избежать с помощью равномерно темперированного строя, который содержит частоты, равноудаленные в логарифмическом масштабе. В этом строе октава разделена на 12 малых секунд (полутонов); этим музыкальным интервалам соответстует отношение частот 2^1/12=1,059. Большим секундам (т.е. двум полутонам) соответствует отношение частот 2^2/12=1,122; малым терциям - отношение 2^3/12 и т.д. Ни один из этих интервалов (за исключением октавы) не совпадает точно с интервалами диатонического строя, но они близки им. Такой строй можно построить от любой ноты , взятой в качестве тоники.

P.S. И для тех кто любит подумать: чтобы закончить шкалу для D-мажора нужна ли еще С#. А что на счет струн G, F, A и В? Можем ли мы использовать те, которые имеем или нужно образовать новые - G', F', A' и B'?